Let f be a periodic continuous function with period T>0. If I=∫0T f(x)dx Then the value of I1=∫44+4T f(3x)dx is

Put 3x=y in I1 I1=13∫1212+12T f(y)dy=13∫12T f(y)dy+∑K=111 ∫KT(K+1)T f(y)dy+∫12T12+12T f(y)dyBut ∫KT(K+1)T f(y)dy=∫0T f(u)du , (Put KT+u=y or use Property 17) and ∫12T12+12T f(y)dy=∫012 f(u)duHence I1=13∫12T f(y)dy+11I+∫012 f(u)du               =13∫0T f(y)dy+11I=13×12I=4I.