Let f be thrice differential function andif u=−f′′(θ)sin⁡θ+f′(θ)cos⁡θ and v=f′′(θ)cos⁡θ+f′(θ)sin⁡θ then I=∫dudθ2+dvdθ21/2dθ is equal to

dudθ=−f′′(θ)cos⁡θ−f′′′(θ)sin⁡θ+f′′(θ)cos⁡θ−f′(θ)sin⁡θ=−f′′′(θ)+f′(θ)sin⁡θdvdθ=f′′′(θ)cos⁡θ−f′′(θ)sin⁡θ+f′′(θ)=sin⁡θ+f′′(θ)cos⁡θdudθ2+dvdθ2=f′′′(θ)+f′(θ)2I=∫f′′′(θ)+f′(θ)dθ=f′′(θ)+f(θ)+C