Let f(n)=2cos⁡nx∀n∈N, then f(1)f(n+1)−f(n) is equal to

f(n)=2cos⁡nx⇒f(1)f(n+1)−f(n)=4cos⁡xcos⁡(n+1)x−2cos⁡nx=2[2cos⁡(n+1)xcos⁡x−cos⁡nx]=2[cos⁡(n+2)x+cos⁡nx−cos⁡nx]=2cos⁡(n+2)x=f(n+2)