Let f'x=192x32+sin4πx for all x∈ℝwith  f12=0.If m≤∫1/21fxdx≤M, then the possible values of  m and M are

2≤2+sin4πx≤313≤12+sin4π≤121923x3≤f'x≤1922x3⇒64∫12tx3dx≤ft−f12≤96∫12tx3dx⇒16t4−116≤ft≤24t4−116⇒∫12116t4−1dt≤∫121ftdt≤∫12124t4−32dt⇒165t5-t121≤∫121ftdt≤ 24t55−3t2121⇒1651−132−12≤∫121ftdt≤2451−132−32.12⇒3110−12≤∫121ftdt≤9320−34⇒2.6≤∫121ftdt≤3.9⇒m=1,M=12