Let P(k)=1+cosπ4k1+cos(2k−1)π4k 1+cos(2k+1)π4k1+cos(4k−1)π4k. Then
P(3)=116
P(4)=2−216
P(5)=3−532
P(6)=2−316
P(k)=1+cosπ4k1+cosπ2−π4k1+cosπ2+π4k1+cosπ−π4k
=1+cosπ4k1+sinπ4k1−sinπ4k1−cosπ4k=1−cos2π4k1−sin2π4k=4sin2π4k⋅cos2π4k4
P(k)=14sin2π2k⇒ P(3)=14⋅14=116⇒ P(4)=14sin2π2k=14sin2π8=181−cosπ4=2−216⇒ P(5)=14sin2π10=182sin2π10=181−cos36∘=181−5+14=3−532⇒ P(6)=14sin2π12=182sin2π12=181−cosπ6=181−32=2−316