Let ${\mathrm{x}}^2\ne \mathrm{n\pi }-1,\mathrm{n}\in \mathrm{N}$ . If $\int \mathrm{x}\sqrt{\frac{2\sin \left({\mathrm{x}}^2+1\right)-\sin 2\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}{2\sin \left({\mathrm{x}}^2+1\right)+\sin 2\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}}\mathrm{dx}=\ln \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{C}$ then ${\sec }^{-1}\mathrm{f}\left(1\right)$ equals

Let ${\mathrm{x}}^2+1=\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{xdx}=\frac{\mathrm{dt}}{2}$

Given integral $=\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{2\sin \mathrm{t}-2\sin \mathrm{tcos}\mathrm{t}}{2\sin \mathrm{t}+2\sin \mathrm{tcos}\mathrm{t}}}\mathrm{dt}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\int \tan \frac{\mathrm{t}}{2}\mathrm{dt}=\ln \left|\sec \frac{\mathrm{t}}{2}\right|+\mathrm{C}\\ \therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sec \left(\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{2}\right)\\ {\sec }^{-1}\mathrm{f}\left(1\right)=1\end{array}$