A man running around a race course notes that the sum of the distances of two flagposts from him is always 10 m and the distance between the flag posts is 8 m. Then the area of the path he encloses in square meters is

Let P(x,y) be the position of the man at any time.  Let S(4,0) and S′(−4,0) be the fixed flag post, with C as the origin Since SP+S′P=10m, i.e., a constant, the locus of P is an  ellipse with S and S′ as foci. Therefore, ae=4 Also, 2a=10∴ e=45 Now,     b2=a21−e2 or      b2=251−1625=9 or      b=3 Hence, the area of the ellipse is πab=π×5×3=15π .