The number of integers in the domain of function, satisfying $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^{-1}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3+1}{\mathrm{x}},$ is ______.

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{x}}^2+\frac{1}{\mathrm{x}}$

$\text{ Replacing }\mathrm{x}\text{ by }\frac{1}{\mathrm{x}},\text{ we get }\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{x}$

$\begin{array}{l}\mathrm{or} \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{x}={\mathrm{x}}^2+\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \mathrm{or} \mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^2-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{or} \left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)=\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{or} \left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}-1\right)=0\end{array}$

$\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{x}}; \mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=1\text{ (rejected) }$

$\text{ Hence, }\mathrm{x}=1\text{ or }-1\text{. }$