Number of pairs of integers (x,y) such that x2+2y2<25 are

We do casework only. If y=0, we have x2<25, so we get 9 values of x. If y=±1, then x2<23, so we still  have 9 values of x. If y=±2, we have x2<17, so we have 9 values of x. If y=±3,  we have x2<7, we get 5 values of x Therefore, the final answer is 9+2(9+9+5)=55.