The number of real solutions of the equation $x-\sin x=0$  is 

Let $f\left(x\right)=x-\sin x$. then 

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1\cos x\ge 0$ for all $x\in R-\{2n\pi :n\in Z;$

$\Rightarrow f\left(x\right)$  is strictly increasing on $nR-\{2n\pi :n\in Z\}$

$\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(0\right)$ for all $x>0,x\ne 2n\pi ,n\in N$

and 

$f\left(x\right)<f\left(0\right)$ for all $x<0,x\ne -2n\pi ,n\in N$

Thus $x>\sin x$ for all $x>0,x\ne 2n\pi ,n\in N$

and $x<\sin x$ and for all  $x<0,x\ne -2n\pi ,n\in N$ 

Thus, $x-\sin x\ne 0$ for all  $x\in R-\{2n\pi :n\in Z\}$

Hower $\text{, }x-\sin x=0$for $x=0$ only