Number of solutions of the equation  $\frac{\sin \mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}=0$ in the interval $\left(0,\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ is

$\frac{\sin \mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}=0$

$\begin{array}{l}\mathrm{or} \frac{2\sin \mathrm{xcos}\mathrm{x}}{2\cos 3\mathrm{xcos}\mathrm{x}}+\frac{2\sin 3\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}{2\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{2\sin 9\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}{2\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}=0\\ \mathrm{or} \frac{\sin (3\mathrm{x}-\mathrm{x})}{2\cos 3\mathrm{xcos}\mathrm{x}}+\frac{\sin (9\mathrm{x}-3\mathrm{x})}{2\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{\sin (27\mathrm{x}-9\mathrm{x})}{2\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}=\mathrm{C}\\ \mathrm{or} (\tan 3\mathrm{x}-\tan \mathrm{x})+(\tan 9\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x})+(\tan 27\mathrm{x}-\tan 9\mathrm{x})=0\\ \mathrm{or} \tan 27\mathrm{x}-\tan \mathrm{x}=0\\ \mathrm{or} \tan \mathrm{x}=\tan 27\mathrm{x}\\ \Rightarrow 27\mathrm{x}=\mathrm{n\pi }+\mathrm{x},\mathrm{n}\in \mathrm{I}\\ \mathrm{or} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{n\pi }}{26},\mathrm{n}\in \mathrm{I}.\\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{26},\frac{2\mathrm{\pi }}{26},\frac{3\mathrm{\pi }}{26},\frac{4\mathrm{\pi }}{26},\frac{5\mathrm{\pi }}{26},\frac{6\mathrm{\pi }}{26}\end{array}$

Hence, there are six solutions