For real values of x , the expression (x−b)(x−c)(x−a)  will assume all real values provided

The given expression is (x−b)(x−c)(x−a) Let (x−b)(x−c)(x−a)=m⇒(x−b)(x−c)−m(x−a)=0⇒ x2−(b+c+m)x+(bc+am)=0 .Since x  is real, ∴  Discriminant ≥0      ⇒ (b+c+m)2−4(bc+am)≥0      (∵  b2−4ac≥0)⇒ m2+2(b+c−2a)m+(b−c)2≥0⇒ [m+(b+c−2a)]2+(b−c)2−(b+c−2a)2>0Since m  is real,∴  (b−c)2−(b+c−2a)2≥0⇒  (b−a)(a−c)≥0  ⇒  (a−b)(a−c)≤0⇒ b⩽a⩽c .