The solution of the equation dydx=x(2log⁡x+1) siny+ycosy  is

∫ycosy+sinydy=∫2x lnx+xdx∫ycosy dy+∫siny dy=2∫xlnx dx+∫x dx integrate only first termsy∫cosy dy-∫1 ∫cosy dydy+∫siny dy=2  lnx∫x dx-∫1x∫x dxdx+∫x dx ysiny-∫siny dy+∫siny dy=2lnx x22-∫1xx22dx+∫x dx y siny=x2ln x-22∫x dx+∫x dx ⇒ysiny=x2ln x+c