Suppose $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{I}$such that the greatest common divisor of ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{ax}+\mathrm{b}\text{ and }{\mathrm{x}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}\text{ is }(\mathrm{x}+1)$and the least common multiple of ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{ax}+\mathrm{b}\text{ and }{\mathrm{x}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ is $\left({\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+6\right)$.Then the value of 10 abc is equal to ______.

${\mathrm{x}}^2+\mathrm{ax}+\mathrm{b}=(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+\mathrm{b})\Rightarrow \mathrm{b}+1=\mathrm{a} \left(1\right)$
Also,  ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+\mathrm{c})\Rightarrow \mathrm{c}+1=\mathrm{b}$
or            $\mathrm{b}+1=\mathrm{c}+2 \left(2\right)$
Hence   $\mathrm{b}+1=\mathrm{a}=\mathrm{c}+2$
Also   $(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}+\mathrm{b})(\mathrm{x}+\mathrm{c})={\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+6$
$\begin{array}{l}\Rightarrow \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}{\mathrm{x}}^3+(1+\mathrm{b}+\mathrm{c}){\mathrm{x}}^2+(\mathrm{b}+\mathrm{bc}+\mathrm{c})\mathrm{x}+\mathrm{bc}\equiv {\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+6\\ \Rightarrow \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}1+\mathrm{b}+\mathrm{c}=-4\\ \Rightarrow \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}2\mathrm{c}+2=-4\Rightarrow \mathrm{c}=-3;\mathrm{b}=-2\text{ and }\mathrm{a}=-1\\ \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}10\mathrm{abc}=-60\end{array}$