${\tan }^{-1}\frac{1}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{7}+{\tan }^{-1}\frac{1}{18}+\dots +{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)+\text{ ..to }\mathrm{\infty }$ is equal to

Let ${\mathrm{t}}_{\mathrm{n}}={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}\right)$

$\begin{array}{l}={\tan }^{-1}\left(\frac{(\mathrm{n}+1)-\mathrm{n}}{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{(\mathrm{n}+1)-\mathrm{n}}{1+(\mathrm{n}+1)\mathrm{n}}\right)\\ ={\tan }^{-1}(\mathrm{n}+1)-{\tan }^{-1}\left(\mathrm{n}\right),\mathrm{n}=1,2,3,\dots \mathrm{n}\end{array}$

$\Rightarrow {\mathrm{t}}_1={\tan }^{-1}2-{\tan }^{-1}1$

${\mathrm{t}}_2={\tan }^{-1}3-{\mathrm{t}}_2$

$⋮$                  $⋮$

${\mathrm{t}}_{\mathrm{n}}={\tan }^{-1}(\mathrm{n}+1)-{\tan }^{-1}\mathrm{n}$.

On adding, we get

${\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2+\dots {\mathrm{t}}_{\mathrm{n}}={\tan }^{-1}(\mathrm{n}+1)-{\tan }^{-1}1$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{(\mathrm{n}+1)-1}{1+\mathrm{n}+1}\right)={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{n}}{2+\mathrm{n}}$

As $\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }$, it becomes ${\tan }^{-1}\left(1\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$,

Hence,

${\tan }^{-1}\frac{1}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{7}+\dots +{\tan }^{-1}\frac{1}{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}+\dots \text{ upto }\mathrm{\infty }=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.