Two circles are given such that one is completely lying inside the other without touching. Then the locus of the centre of a variable circle which touches the smaller circle from outside and the bigger circle from inside is

In the figure, circles with hard lines are the given circles with centres C1 and C2 and radii r1 and r2 . Let the circle with dotted line be the variable circle, which touches the given two circles as erplained in the question, which has centre C and radius r. Now CC2=r+r2 and CC1=r1−r Hence ,CC1+CC2=r1+r2(= constant ) Then the locus of C is an ellipse whose foci are C1 and C2 .