The value of $\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \left(\sum _{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{r}-1} \frac{1}{5^{\mathrm{n}}}{\cdot }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\cdot }^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{t}}\cdot 3^{\mathrm{t}}\right)$ is equal to

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{5^{\mathrm{n}}}{\cdot }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\left(\sum _{\mathrm{t}=0}^{\mathrm{r}-1}{ }^{\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{t}}\cdot 3^{\mathrm{t}}\right)=\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{5^{\mathrm{n}}}{\cdot }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\left(4^{\mathrm{r}}-3^{\mathrm{r}}\right)\\ =\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1}{5^{\mathrm{n}}}\left(\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{4}^{\mathrm{r}}-\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}{ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{3}^{\mathrm{r}}\right)\\ =\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1}{5^{\mathrm{n}}}\left(5^{\mathrm{n}}-4^{\mathrm{n}}\right)=1\end{array}$