The value of ∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅30Cr⋅30−rC10−r is equal to

∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅30Cr⋅30−rC10−r=∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅30!(30−r)!r!⋅(30−r)!20!(10−r)!=30!20!∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅1r!(10−r)!=30!10!×20!∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅10!r!(10−r)!=30C10∑r=010 (−1)r⋅410−r⋅10Cr=30C10(4−1)10=30C10⋅310