Given,$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{x}}^2-\sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-2\\ \sin \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& 0& 1-2\mathrm{x}\\ 2-\cos \mathrm{x}& 2\mathrm{x}-1& 0\end{array}\right|$' then $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ is equal to 

We have, 

           $\Rightarrow$        $\begin{array}{r}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccl}0& {\mathrm{x}}^2-\sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-2\\ \sin \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& 0& 1-2\mathrm{x}\\ 2-\cos \mathrm{x}& 2\mathrm{x}-1& 0\end{array}\right|\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}0& \sin \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& 2-\cos \mathrm{x}\\ {\mathrm{x}}^2-\sin \mathrm{x}& 0& 2\mathrm{x}-1\\ \cos \mathrm{x}-2& 1-2\mathrm{x}& 0\end{array}\right|\end{array}$

[interchanging rows and columns]

$\Rightarrow$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(-1{)}^3\left|\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{x}}^2-\sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}-2\\ \sin \mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& 0& 1-2\mathrm{x}\\ 2-\cos \mathrm{x}& 2\mathrm{x}-1& 0\end{array}\right|$

[taking (-1) common from each column]

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \Rightarrow \int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=c\end{array}$