If the expansion in powers of x of the function $\frac{1}{(1-\mathrm{ax})(1-\mathrm{bx})}$ is ${\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}_3{\mathrm{x}}^3+\dots \dots \dots$ then ${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ is:

Solution:

$$\begin{gathered} \frac{1}{(1-\mathrm{ax})(1-\mathrm{bx})}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{a}{1-ax}-\frac{b}{1-bx}\right) \\ \frac{1}{(1-\mathrm{ax})(1-\mathrm{bx})}=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}\right)(1-\mathrm{ax}{)}^{-1}+\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}\right)(1-\mathrm{bx}{)}^{-1} \end{gathered}$$

, coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\text{ is }\frac{\mathrm{a}\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}\cdot {\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}=\frac{b^{n+1}}{b-a}-\frac{a^{n+1}}{b-a}$

$\Rightarrow coefficient of x^n=\frac{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$