Let f(x) be a function such that,$\mathrm{f}\left(0\right)={\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=0$ ,${\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)={\sec }^4 \mathrm{x}+4$ then the function is 

Solution:

Since,${\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)={\sec }^4 \mathrm{x}+4$

${\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)=\left(1+{\tan }^2 \mathrm{x}\right){\sec }^2 \mathrm{x}+4$

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \mathrm{x}+\frac{{\tan }^3{\displaystyle }\mathrm{x}}{3}+4\mathrm{x}+\mathrm{C}\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=0\Rightarrow 0=\mathrm{C}$

$\text{ Then, }{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \mathrm{x}+\frac{{\tan }^3{\displaystyle }\mathrm{x}}{3}+4\mathrm{x}$

$\begin{array}{r}{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \mathrm{x}+\frac{{\tan }^3 \mathrm{x}}{3}+4\mathrm{x}\\ =\tan \mathrm{x}+\frac{1}{3}\tan \mathrm{x}\left({\sec }^2\mathrm{x}-1\right)+4\mathrm{x}\\ \Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2}{3}\tan \mathrm{x}+\frac{1}{3}\tan {\mathrm{xsec}}^2 \mathrm{x}+4\mathrm{x}\\ \therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2}{3}\log |\sec \mathrm{x}|+\frac{{\tan }^2 \mathrm{x}}{6}+2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{d}\\ \text{ But }\mathrm{f}\left(0\right)=0\Rightarrow \mathrm{d}=0\end{array}$

$\text{ Then, }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2}{3}\log |\sec \mathrm{x}|+\frac{1}{6}{\tan }^2 \mathrm{x}+2{\mathrm{x}}^2$