If $\int \frac{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Blog}\left(3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4\right)+\mathrm{C},$ then

Solution:

Let

$\begin{array}{r}\int \frac{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\int \frac{2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+3}{3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4}\mathrm{dx}\\ 2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+3=\mathrm{A}\left(3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4\right)+\mathrm{B}\left(6{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\right)\\ \Rightarrow 2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+3=(3\mathrm{A}+6\mathrm{B}){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+4\mathrm{A}\end{array}$

On comparing both sides, we get

$\begin{array}{r}2=3\mathrm{A}+6\mathrm{B}----\left(\mathrm{i}\right)\\ 3=4\mathrm{A}----\left(\mathrm{ii}\right)\end{array}$

From Eqs. (i) and (ii), woe get

$\begin{array}{l}2=\frac{9}{4}+6\mathrm{B}\\ \Rightarrow 6\mathrm{B}=2-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}\\ \Rightarrow \mathrm{B}=-\frac{1}{24}\\ \begin{array}{rl}\Rightarrow \frac{2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+3}{3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4}\mathrm{dx}& =\int \frac{3\left(3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4\right)}{4\left(3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4\right)}\mathrm{dx}-\frac{1}{24}\int \frac{6{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4}\mathrm{dx}\\ & =\frac{3}{4}\mathrm{x}-\frac{1}{24}\log \left(3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+4\right)+\mathrm{C}\end{array}\end{array}$