Let $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ be $10$ observations such that $\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-5\right)=10$ and $\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-5\right)}^2=40.$ If mean and variance of observations $\left(x_1-3\right),\left(x_2-3\right),\dots ,\left(x_{10}-3\right)$ are $\lambda$ and $\mu$ respectively, then $(\lambda , \mu )=$

 

Solution:

We have,

      $\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-5\right)=10$ and $\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-5\right)}^2=40$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{10} \left[\left(x_i-3\right)-2\right]=10$ and $\sum _{i=1}^{10} {\left\{\left(x_i-3\right)-2\right\}}^2=40$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{10} \left(x_i-3\right)-20=10$ and $\sum _{i=1}^{10} \left\{{\left(x_i-3\right)}^2-4\left(x_i-3\right)+4\right\}=40$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{10} \left(x_i-3\right)=30$ and $\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-3\right)}^2-4=\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-3\right)+40=40$

$\Rightarrow \frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-3\right)=3$ and $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-3\right)}^2-4\times 3=0$

$\Rightarrow \lambda =3$and $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-3\right)}^2=12$

$\Rightarrow \lambda =3$ and $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-3\right)}^2-{\left\{\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-3\right)\right\}}^2=12-9$

$\Rightarrow \lambda =3$ and $\mu =3.$

Hence. $(\lambda ,\mu )=(3,3)$

ALITER Let $U$ and $V$ be two variables taking values $u_1,u_2,\dots ,u_{10}$ and $v_1,v_2,\dots ,v_{10}$ respectively such that

         $u_i=x_i-5$ and $v_i=x_i-3=u_i+2,i=1,2,\dots ,10$.

It is given that

        $\sum _{i=1}^{10} \left(x_i-5\right)=10$ and $\sum _{i=1}^{10} {\left(x_i-5\right)}^2=40$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{10} u_i=10$ and $\sum _{i=1}^{10} u_i^2=40$

$\Rightarrow \frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} u_i=1$ and $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} u_i^2=4$

$\Rightarrow \overline{\overline{U}}=1$ and $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} u_i^2-{\left(\frac{1}{10}\sum u_i\right)}^2=4-1^2$

$\Rightarrow \overline{\overline{U}}=1$ and $\mathrm{Var}\left(U\right)=3$

Now, $v_i=u_i+2,i=1,2,\dots ,10$

$\Rightarrow \overline{\overline{V}}=\overline{\overline{U}}+2$ and $\mathrm{Var}\left(V\right)=\mathrm{Var}\left(U\right)$

$\Rightarrow \lambda =1+2=3$ and $\mu =3\Rightarrow (\lambda ,\mu )=(3,3)$